奇变偶不变符号看象限解析(奇变偶不变,“变”的是个啥?)
现在还有一个“象限角”的概念,就是我们把角放在坐标系里。角的顶点与原点重合,角的始边与x轴非负半轴重合,那么角的终边落在第几象限,就叫第几象限角。
为什么要区分第几象限角呢?
这是与三角函数紧密联系在一起的。我们终于要讲到三角函数了!
一个角α的三角函数sin、cos、tan是怎样定义的呢?
是用角α的终边上的一点P(x, y)的坐标和点P到原点的距离r来定义的。
sinα=y/r;
cosα=x/r;
tanα=y/x.(x不为0)
注意到点P可以取成终边上除了角的顶点外的任意一点,因为当P在终边上移动时,x、y、r会成比例地变化。
有了三角函数的定义后,我们首先来看一下各个象限角的三角函数的正负。因为距离r是恒为正的,所以符号其实取决于式子中的x和y的符号,也就是横纵坐标的正负。
那么我们就很容易知道了,
sin在第一二象限为正,cos在第一、四象限为正,tan在第一、三象限为正。
这个呢,特别的重要也特别的有用,我们接下来,要学习的诱导公式口诀“奇变偶不变、符号看象限”,这个让很多同学头疼的噩梦,其实最重要的不就是三角函数在各个象限的符号吗。
诱导公式到底什么意思呢,其实就是说一个角α做一些变换,比如说变成-α,π+α,π-α,π/2+α,π/2-α 等等。然后这些角的三角函数都可以化简成α的三角函数。主要我们就是对sin和cos进行变换。
奇变偶不变的意思,是说看和α进行组合的那个角是π/2的奇数倍还是偶数倍,换句话就是π/2,3π/2这样的还是0,π,2π这样的。如果是奇数倍就要变三角函数的名,就是sin变cos,cos变sin. 举个例子,sin(π/2-α)=cosα,sin(π-α)=sinα,我们发现前者sin变成cos了,而后者式子两边都是sin。
但另一方面就是符号了,比如sin(π/2+α)=cosα,sin(π+α)=-sinα,我们发现前者右边符号为正,后者右边符号为负,什么时候为正、什么时候为负,这是口诀后半句要解决的问题,我们下回分解。